(x+y)^n দ্বিপদী এর বিস্তৃতি

নবম-দশম শ্রেণি (মাধ্যমিক ২০২৫) - উচ্চতর গণিত - দ্বিপদী বিস্তৃতি | | NCTB BOOK

আমরা এ পর্যন্ত ${(1 + y)}^{n}$ এর বিস্তৃতি নিয়ে আলোচনা করেছি। এই পর্যায়ে আমরা দ্বিপদী বিস্তৃতির সাধারণ আকার ${(x + y)}^{n}$ নিয়ে আলোচনা করব যেখানে $n$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। ${(x + y)}^{n}$ এর বিস্তৃতি সাধারণভাবে দ্বিপদী উপপাদ্য নামে পরিচিত।

আমরা জানি,

${(1 + y)}^{n} = 1 + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) y + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) y^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) y^{3} + . . . . . . . . . . . . + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) y^{n}$

এখন, ${(x + y)}^{n} = {[x (1 + \frac{y}{x})]}^{n} = x^{n} {(1 + \frac{y}{x})}^{n}$

$∴ {(x + y)}^{n} = x^{n} [1 + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) (\frac{y}{x}) + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) {(\frac{y}{x})}^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) {(\frac{y}{x})}^{3} + . . . . . . . . . . . + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) {(\frac{y}{x})}^{n}] ∴ {(x + y)}^{n} = x^{n} [1 + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) (\frac{y}{x}) + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) \frac{y^{2}}{x^{2}} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) \frac{y^{3}}{x^{3}} + . . . . . . + \frac{y^{n}}{x^{n}}] [∵ (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = 1] = x^{n} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) (x^{n} . \frac{y}{x}) + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) (x^{n} . \frac{y^{n}}{x^{2}}) + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) (x^{n} . \frac{y^{3}}{x^{3}}) + . . . . . . + x^{n} . \frac{y^{n}}{x^{n}} {(x + y)}^{n} = x^{n} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) x^{n - 1} y + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} y^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) x^{n - 3} y^{3} + . . . . . . . . + y^{n}$

এটিই হচ্ছে দ্বিপদী উপপাদ্যের সাধারণ আকার। লক্ষণীয় এই বিস্তৃতি ${(1 + y)}^{n}$ এর অনুরূপ। এখানে $x$ এর ঘাত $n$ থেকে 0 পর্যন্ত যোগ করা হয়েছে। আরো লক্ষণীয়, প্রতি পদে $x$ ও $y$ এর ঘাতের যোগফল দ্বিপদীর ঘাতের সমান। প্রথম পদে $x$ এর ঘাত $n$ থেকে শুরু হয়ে সর্বশেষ পদে শূন্য। ঠিক বিপরীতভাবে $y$ এর ঘাত প্রথম পদে শূন্য থেকে শুরু হয়ে শেষ পদে $n$ হয়েছে।

উদাহরণ ৩. ${(x + y)}^{5}$ কে বিস্তৃত কর এবং উহা হইতে ${(3 + 2 x)}^{5}$ এর বিস্তৃতি নির্ণয় কর।

সমাধান:

${(x + y)}^{5} = x^{5} + (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) x^{4} y + (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) x^{3} y^{2} + (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) x^{2} y^{3} + (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) x y^{4} + y^{5} = x^{5} + 5 x^{4} y + \frac{5.4}{1.2} x^{3} y^{2} + \frac{5.4.3}{1.2.3} x^{2} y^{3} + \frac{5.4.3.1}{1.2.3.4} x y^{4} + y^{5} = x^{5} + 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + y^{5}$

$∴$ নির্ণেয় বিস্তৃতি ${(x + y)}^{5} = x^{5} + 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + y^{5}$

এখন $x = 3$ এবং $y = 2 x$ বসাই

${(3 + 2 x)}^{5} = 3^{5} + 5 . 3^{4} (2 x) + 10 . 3^{3} . {(2 x)}^{2} + 10 . 3^{2} {(2 x)}^{3} + 5.3 (2 x) + {(2 x)}^{5} = 243 + 810 x + 1080 x^{2} + 720 x^{3} + 240 x^{4} + 32 x^{5} ∴ {(3 + 2 x)}^{5} = 243 + 810 x + 1080 x^{2} + 720 x^{3} + 240 x^{4} + 32 x^{5}$

উদাহরণ ৪. ${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ কে $x$ এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর এবং $x$ মুক্ত পদটি শনাক্ত কর।

সমাধান: দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে পাই,

${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{6} = x^{6} + (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) x^{5} (\frac{1}{x^{2}}) + (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) x^{4} {(\frac{1}{x^{2}})}^{2} + (\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix}) x^{3} {(\frac{1}{x^{2}})}^{3} + . . . . . . . = x^{6} + 6 x^{3} + \frac{6.5}{1.2} x^{4} \frac{1}{x^{4}} + \frac{6.5.4}{1.2.3} x^{3} \frac{1}{x^{6}} + . . . . . . = x^{6} + 6 x^{3} + 15 + 20 \frac{1}{x^{3}} + . . . . . . .$
$∴$ নির্ণেয় বিস্তৃতি $x^{6} + 6 x^{3} + 15 + 20 \frac{1}{x^{3}} + . . . . . .$ এবং $x$ মুক্ত পদ $15$

Content added || updated By

Genius

n! এবং nCr এর মান নির্ণয়

নিচের উদাহরণগুলো লক্ষ করি:

$2 = 2.1, 6 = 3.2.1, 24 = 4.3.2.1!, 120 = 5.4.3.2.1, . . .$

ডানদিকের গুণফলসমূহকে আমরা এখন সংক্ষেপে একটি সাংকেতিক চিহ্নের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি।

$2 = 2.1 = 2!, 6 = 3.2.1 = 3!, 24 = 4.3.2.1 = 4!, 120 = 5.4.3.2.1 = 5! . . . . .$

এখন লক্ষ করি:
$4! = 4.3.2.1 = 4 . (4 - 1) . (4 - 2) . (4 - 3) 5! = 5.4.3.2.1 = 5 . (5 - 1) . (5 - 2) . (5 - 3) . (5 - 4)$

সাধারণভাবে লিখতে পারি, $n! = n (n - 1) (n - 2) (n - 3) . . . . . . . . . . 3 . 2 . 1$ এবং $n!$ কে ফ্যাক্টোরিয়াল (Factorial) $n$ বলা হয়। তদ্রুপ $3!$ কে ফ্যাক্টোরিয়াল তিন, $4!$ কে ফ্যাক্টোরিয়াল চার ইত্যাদি পড়া হয়।

আবার লক্ষ করি:
$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{5.4.3}{1.2.3} = \frac{5.4.3.2.1}{(1.2.3) . (2.1)} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{5!}{3! \times (5 - 3)!}$

$(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{7.6.5.4}{1.2.3.4} = \frac{7.6.5.4.3.2.1}{(1.2.3.4) . (3.2.1)} = \frac{7!}{4! \times 3!} = \frac{7!}{4! \times (7 - 4)!}$

$∴$ সাধারণভাবে আমরা বলতে পারি $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = \frac{n!}{r! (n - r)!}$

ডান পাশের ফ্যাক্টোরিয়ালসমূহকে যে প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় তা হলো,

$(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = \frac{n!}{r! (n - r)!} = {}^{n}C_{r}$

$(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{7!}{4! (7 - 4)!} = {}^{7}C_{4}$ এবং $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{5!}{3! (5 - 3)!} = {}^{5}C_{3}$

সুতরাং, $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = {}^{n}C_{r}$ অর্থাৎ, $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ ও ${}^{n}C_{r}$ এর মান এক।

আমরা জানি $(\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = {}^{n}C_{n} = \frac{n!}{n! (n - n)!} = \frac{n!}{n! (0)!} = \frac{1}{0!} ∴ 1 = \frac{1}{0!},$

অর্থাৎ $0! = 1$

মনে রাখতে হবে

$n! = n (n - 1) (n - 2) . . . . . . . . 3.2.1 (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = {}^{n}C_{r}, {}^{n}C_{r} = 1 (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = {}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r! (n - r)!}, (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) = {}^{n}C_{0} = 1 (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = {}^{n}C_{n} = 1, 0! = 1$
এখন দ্বিপদী উপপাদ্যতে আমরা $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ কে ${}^{n}C_{r}$ দ্বারা প্রকাশ করব।
${(1 + y)}^{n} = 1 + {}^{n}C_{1} y + {}^{n}C_{2} y^{2} + {}^{n}C_{3} y^{3} + . . . . . . . . . + {}^{n}C_{n} y^{n} \Rightarrow {(1 + y)}^{n} = 1 + n y + \frac{n (n - 1)}{2!} y^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3!} y^{3} + . . . . . . . + y^{n}$

এবং অনুরূপভাবে,
${(x + y)}^{n} = x^{n} + {}^{n}C_{1} x^{n - 1} y + {}^{n}C_{2} x^{n - 2} y^{2} + {}^{n}C_{3} x^{n - 3} y^{3} + . . . . . . . + {}^{n}C_{r} x^{n - r} y^{r} + . . . . . . . + {}^{n}C_{n} y^{n} ∴ {(x + y)}^{n} = x^{n} + n x^{n - 1} y + \frac{n (n - 1)}{1.2} x^{n - 2} y^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{1.2.3} x^{n - 3} y^{3} + . . . . . . . . . . + y^{n}$
লক্ষণীয়: ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $n$ এর জন্য
দ্বিপদী বিস্তৃতি ${(1 + y)}^{n}$ এর সাধারণ পদ বা $(r + 1)$ তম পদ $T_{r + 1} = (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) y^{r}$ বা ${}^{n}C_{r} y^{r}$
এখানে, $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ বা ${}^{n}C_{r}$ দ্বিপদী সহগ।
${(x + y)}^{n} = x^{n} + {}^{n}C_{1} x^{n - 1} y + {}^{n}C_{2} x^{n - 2} y^{2} + {}^{n}C_{3} x^{n - 3} y^{3} + . . . . . . . . . . . + {}^{n}C_{n} y^{n} \Rightarrow {(x + y)}^{n} = x^{n} + n x^{n - 1} y + \frac{n (n - 1)}{1.2} x^{n - 2} y^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{1.2.3} x^{n - 3} y^{3} + . . . . . . . . + y^{n}$
সাধারণ পদ বা $(r + 1)$ তম পদ $T_{r + 1} = (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) x^{n - r} y^{r}$ যেখানে $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ বা ${}^{n}C_{r}$ দ্বিপদী সহগ ।
উদাহরণ ৫. ${(x - \frac{1}{x^{2}})}^{5}$ কে বিস্তৃত কর।

সমাধান: দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে

${(x - \frac{1}{x^{2}})}^{5} = x^{5} + {}^{5}C_{1} x^{5 - 1} (- \frac{1}{x^{2}}) + {}^{5}C_{2} x^{5 - 2} {(- \frac{1}{x^{2}})}^{2} + {}^{5}C_{3} x^{5 - 3} {(- \frac{1}{x^{2}})}^{3} + {}^{5}C_{4} x^{5 - 4} {(- \frac{1}{x^{2}})}^{4} + {(- \frac{1}{x^{2}})}^{5} = x^{5} - 5 x^{4} . \frac{1}{x^{2}} + \frac{5.4}{1.2} x^{3} . \frac{1}{x^{4}} - \frac{5.4.3}{1.2.3} x^{2} \frac{1}{x^{6}} + \frac{5.4.3.2}{1.2.3.4} x \frac{1}{x^{8}} - \frac{1}{x^{10}} = x^{5} - 5 x^{2} + \frac{10}{x} - \frac{10}{x^{4}} + \frac{5}{x^{7}} - \frac{1}{x^{10}}$

Content added || updated By

Genius

(x+y)^n দ্বিপদী এর বিস্তৃতি n! এবং nCr এর মান নির্ণয়

(x+y)^n দ্বিপদী এর বিস্তৃতি

n! এবং nCr এর মান নির্ণয়

All Notifications

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Promotion